гуманитарный
университет
Институт
экономики, управления и права
Факультет управления
Кафедра моделирования в экономике и управлении
э к о н о м е т р и
к а
Учебно-методический комплекс
по специальности
№060600 – «мировая экономика»
№060100 – «экономическая теория»
№060400 – «финансы и кредит»
Москва 2003
ББК 87.4
э к о н о м е т р и
к а
Учебно-методический комплекс составлен
на кафедре «Моделирование в экономике и управлении»
РГГУ
Составитель
к.т.н., с.н.с., доцент Ю.С. Слотин
Ответственный редактор
УМК утвержден
на заседании кафедры «Моделирование в экономике и управлении»
РГГУ
Протокол № 10 от 18.11.2003
© Ю.С. Слотин, 2003
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................... 4
2. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.................................... 6
3. ПРОГРАММА КУРСА.....................................................8
4. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА...............................13
5. ЛИТЕРАТУРА...................................................................15
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.........................................18
7. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ НА ТЕМУ
“ПОСТРОЕНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ”.......................................................................19
8. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ ПО ПОСТРОЕНИЮ МОДЕЛИ
ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ....................................................27
1. ПРЕДИСЛОВИЕ
Разработка и реализация эффективных экономических решений являются необходимыми условиями экономического роста и устойчивого развития России.
Согласно Хартии устойчивого развития Европейских городов, принятой на
первой Европейской конференции по проблемам устойчивого развития (Дания, 27 мая
1994 г.), главная цель устойчивого развития – достижение стабильной
экономики, социальной справедливости и устойчивости окружающей среды.
В декларации Совета предпринимателей по устойчивому развитию [8]
отмечается: “Проблемы экономического роста и защиты окружающей среды неразрывно
связаны с тем, насколько удастся решать насущные проблемы сегодня, не нанося ущерба
окружающей среде, от состояния которой зависит все живое на Земле”.
Существующая взаимосвязь между качеством жизни населения (КЖН) и
экономическим ростом такова, что с повышением КЖН создаются более благоприятные
условия для жизнедеятельности людей. Наилучшие результаты достигаются путем
сбалансированного (эффективного)
решения экономических и экологических проблем – главного необходимого
условия устойчивого развития общества.
Комплексная оценка современного социально-экономического состояния
России с использованием 22-ух ключевых показателей развития общества выявила их
значения, превышающие критические значения, используемые в мировой практике для
оценки состояния социально-экономических систем [9].
В этих условиях повышение эффективности управления состоянием
социально-экономических систем (СЭС) на государственном, региональном и
муниципальном уровнях является актуальной современной проблемой.
Главная цель эффективного управления устойчивым развитием (УР) СЭС – минимизация финансовых средств,
повышение эффективности решений проблем УР СЭС.
Необходимые условия эффективных экономических решений следуюшие:
·
принимаемые
решения должны быть оптимальными (рациональными);
·
фактические результаты
должны совпадать с прогнозируемыми с учетом точности принятых решений.
Мероприятия (факторы), обеспечивающие выполнение данных условий, называются эффективными.
Дисциплина
«Эконометрика» является составной частью современной экономической теории.
Назначение эконометрики состоит в исследовании экономических закономерностей с
помощью современных математико-статистических методов и в разработке
эффективных экономических решений с использованием эконометрических моделей,
построенных на основе статистических данных.
Главная особенность эконометрических моделей состоит в существующей
всегда ошибки по определению оптимальных решений. Поэтому чем точнее будут
эконометрические модели, тем точнее могут быть эффективные экономические
решения.
Умение определять достоверные эконометричесие модели по ограниченному
объему исходных статистических данных является главной задачей специалистов по
эконометрике.
2. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Учебно-методический комплекс (УМК) по дисциплине «Эконометрика» разработан в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по эконометрике для специальности № 060600 «Мировая экономика».
УМК «Эконометрика» предназначается для студентов очного отделения экономического факультета и факультета управления РГГУ и также преподавателей по эконометрике.
Предмет курса – построение эконометрических моделей на основе статистических данных.
Цель курса - овладение студентами основными математико-статистическими методами построения эконометрических моделей.
Успешное изучение курса эконометрики основывается на хорошем знании студентов следующих дисциплин: «Высшая математика», «Основы теории вероятностей и математической статистики», «Экономическая информатика», «Макроэкономика», «Микроэкономика».
Основными средствами успешного изучения курса являются следующие:
· качественная запись и целенаправленное изучение лекций;
· активное участие в лабораторных занятиях;
· успешное выполнение контрольной работы;
· изучение основной учебной литературы;
· применение знаний для решения практических задач.
Учебный план предусматривает проведение лекционных и лабораторных занятий в объеме 50-ти академических часов, в том числе лекционных 26-ть, лабораторных 24-ре.
После завершения преподавателем по эконометрике лекционных и лабораторных занятий студентами выполняется контрольная работа по индивидуальному заданию в заданные сроки после получения задания.
Предусмотрены консультации по темам курса «Эконометрика», необходимые для успешной подготовки студентов к аттестации по эконометрике. Консультации проводятся преподавателем по эконометрике на кафедре «Моделирование в экономике и управлении» РГГУ.
Итоговая аттестация студентов по эконометрике может быть:
1. По результатам выполненной контрольной работы и сдачи экзамена по эконометрике.
2. По результатам текущего контроля на основе рейтинговой системы, учитывающей активное участие студентов по освоению эконометрики во время лекций и лабораторных занятий, результатов выполненной в срок контрольной работы и знаний по эконометрике по результатам собеседования преподавателя с студентами.
Аттестация студентов по рейтинговой системе определяется в соответствии с таблицей 1
Таблица 1
|
Отлично |
90-100 баллов |
|
Хорошо |
80-89 баллов |
|
Удовлетворительно |
65-79 баллов |
|
Неудовлеворительно |
менее 65 баллов |
|
|
|
Определение баллов производится в соответствии таблицей 2
Таблица 2
|
1. Активное участие в лекционных и лабораторных занятиях (качественная запись лекций и материала лабораторных занятий) |
До 15 |
|
2. Результаты выполненных практических заданий при проведении лабораторных занятий и результаты текущей и итоговой оценок знаний студентов по материалам лекций |
До 35 |
|
3. Результаты контрольной работы |
До 35 |
|
4. Качество реферата по применению математико-статистических методов для решения практических задач |
До 15 |
|
|
|
|
|
|
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Эконометрика» является необходимым элементом методического обеспечения курса.
Составленная программа курса ориентирована на более углубленное изучение студентами современных математико-статистических методов по сравнению с объемом лекционных и лабораторных занятий.
Некоторые методы имеют отечественный приоритет [13-26]. Методы позволяют решать задачи по поиску эффективных экономических решений созданию конкурентоспособной продукции с заданным уровнем качества.
3.
ПРОГРАММА
КУРСА
1.3 Основные условия и модели эффективных экономические
решений.
Необходимыми условиями эффективных экономических
решений являются следующие:
·
достоверная оценка
состояния социально-экономических систем (СЭС), достигаемая с использованием
количественных показателей состояния СЭС;
·
определение точных
требований к результатам решений проблем устойчивого развития СЭС, которые
необходимо достигнуть в течение заданного периода времени;
·
достоверное
прогнозирование развития СЭС;
·
своевременная
корректировка принятых решений по УР СЭС.
Точные требования к результатам
решений проблем УР СЭС определяются в
виде совокупности интервальных условий к значениям показателей состояния СЭС,
которые необходимо достигнуть в течение заданного периода времени.
Данные условия называются динамическими интервальными условиями
многоцелевой оптимизации решений проблем УР СЭС. Эти условия состоят из
совокупности статических интервальных
условий..
Цель других требований - минимизация (максимизация) значений показателей, для которых в интервальных условиях отсутствует одно из граничных значений. Эти
требования называются критериальными условиями многоцелевой
оптимизации решений проблем УР СЭС. Возможны другие критериальные условия,
например, условия минимизации затрат, необходимых для эффективного решения
проблем УР СЭС.
Показатели полагают
зависимыми от факторов, определяющих условия и результаты решения проблем УР СЭС. Функции, описывающие эти
зависимости, называются целевыми функциями показателей (ЦФП) состояния СЭС.
Принимаемые решения по УР СЭС имеют статистический характер реализации
их результатов и всегда существуют отклонения фактических результатов от
прогнозируемых. Эти отклонения являются случайными величинами и называются
флуктуацией результатов решений (ФРР).
Существуют две основные причины ФРР:
наличие ошибки в определении многофакторных функциональных экономических
зависимостей, используемых для поиска оптимальных решений; существование
флуктуации значений факторов,
соответствующих результатам оптимального решения проблем УР СЭС.
Оптимальные решения проблем УР СЭС, найденные с учетом флуктуации результатов решений, называются оптимальными гарантированными решениями (ОГР).
Главная особенность ОГР – интервальная оценка результатов оптимальных решений, позволяющая определить наилучший (оптимистический) и наихудший (пессимистический) возможные фактические (статистические) результаты.
Материал раздела представлен в работах [17-21,23,25,26].
2.3 Модели и методы статистических
многофакторных исследований экономических закономерностей.
Главная особенность
экономических закономерностей состоит в их случайном многофакторном характере и в существовании неопределенности в
определении достоверной структуры аналитических моделей, используемых при их
статистической идентификации. Поэтому построение математических моделей
экономических закономерностей по статистическим данным является сложной
математико-статистической задачей.
В настоящее время в
учебной [3-6] и научной [10-12]
литературе основным методом
построения многофакторных регрессионных моделей (МФРМ) является метод
наименьших квадратов (МНК). Среди МФРМ, построенных по МНК, широко
используемыми моделями являются многофакторные регрессионные полиномиальные
модели (МФРПМ),
Однако эффективность МНК при существовании неопределенности по
выбору достоверной структуры МФРПМ существенно снижается, что отражается на
точности регрессионных моделей экономических процессов.
С целью повышения точности
статистической идентификации экономических закономерностей разработан новый метод построения МФРПМ [21,22,25], названный методом многоцелевой оптимизации интервальной
регрессии.
В данном разделе определяются необходимые условия построения
регрессионых моделей экономических процессов по МНК и описан метод многоцелевой
оптимизации интервальной регрессии.
3.3 Количественная оценка факторов с учетом
эффектов взаимодействия в многофакторных экономических и управленческих
исследованиях.
Количественная оценка
факторов, часто называемая ранжированием факторов, является одной из главных
необходимых задач, подлежащих решению при оптимизации экономических и
управленческих решений. От точности определения факторов, влияющих на
результаты решений, непосредственно зависит эффективность оптимальных решений.
Главная трудность
ранжирования факторов состоит в существовании эффектов взаимодействия факторов,
при которых влияние какого-либо фактора на результаты решений зависит от
значений остальных факторов.
Это свойство факторов не позволяет произвести их достоверную оценку с использованием традиционного (графического) метода анализа факторов.
Разработан
математико-статистический метод количественной оценки факторов с учетом
эффектов взаимодействия [13-17,24]. Суть метода состоит в
комплексном анализе исследуемых факторов, позволяющем учитывать их
взаимодействие. Каждый фактор
последовательно рассматривается в качестве ранжируемого.
4.3
Построение регрессионных
нелинейных моделей по
МНК.
Многофакторное логистическое прогнозирование
в экономике и управлении
Главная особенность реализации эффективных мероприятий по УР СЭС - наступление положительных результатов через некоторое
время после начала их действия и последовательное улучшение результатов в
течение некоторого (заданного) периода
времени. Поэтому для оперативной
корректировки принятых решений необходимо достоверное прогнозирование
возможных результатов.
Процессы устойчивого развития социально-экономических систем статистически достоверно могут описаны многофакторными регрессионными логистическими моделями (МФРЛМ) [19,25].
Монотонное изменение процессов по логистическому закону состоит из трех этапов. Первый (начальный) этап характеризуется последовательным увеличением скорости изменения значений показателей состояния систем (логистических функций отклика).
На втором (основном) этапе скорость изменения значений логистической функции отклика (ЛФО) является максимальной.
На третьем (завершающем) этапе происходит последовательное уменьшение скорости изменения значений ЛФО, которые стремятся к постоянным (предельным) значениям.
Главная задача прогнозирования –
определение значений показателей состояния систем, соответствующих третьему
этапу, на основе статистических данных, полученных на предыдущих этапах.
Главная трудность построения МФРЛМ состоит в сложной структуре логистических моделей. Самая простая логистическая функция содержит три неизвестных параметра и имеет вид
Y(t,X) = A/(1 + D exp R´ t), t ³ 0, X=Const, (1)
где Y - отклик (один из показателей состояния системы); X - вектор исследуемых
факторов; t - продолжительность действия
факторов; A, D, R – неизвестные параметры (коэффициенты регрессии), которые условно называются логистическими
или логпараметрами.
При изменении значений факторов меняются значения логпараметров модели
(1). Данное свойство модели (1) используется для построения МФРЛМ. Зависимости
логпараметров от факторов аппроксимируются регрессионными полиномиальными
моделями и таким образом производится
построение МФРЛМ.
Отметим, что МФРЛМ являются нелинейными по параметрам моделями, которые
используются для исследования экономических закономерностей. Нелинейными
эконометрическими моделями являются производственные функции.
5.3
Оптимизация технологических решений по созданию конкурентоспособной продукции
Главная особенность
технологических решений по созданию конкурентоспособной продукции –
необходимость проведения экспериментальных многофакторных исследований по
созданию продукции (технических изделий) с заданным уровнем свойств,
определяющих качество продукции.
Минимизация затрат на создание
технических изделий с заданным уровнем качества является главным необходимым
условием создания конкурентоспособной продукции.
Эффективное решение этой
проблемы во многом зависит от эффективности проведения многофакторных
экспериментальных исследований, главная цель которых - поиск оптимальных
технологических решений.
Проведение указанных
многофакторных экспериментальных исследований предполагает использование
методов математического планирования эксперимента.
Для повышения
эффективности экспериментальных исследований (снижения затрат) разработаны
специальные методы многофакторного планирования эксперимента по построению эконометрических моделей [13,14,17]. Данные модели необходимы для многоцелевой оптимизации
решений по созданию продукции с заданным уровнем качества.
6.3 Построение регрессионных моделей временных рядов по МНК
Модели временных рядов необходимы для прогноза
экономических показателей, изменение которых происходит через некоторый период (лаг)
времени. Поэтому в качестве одного или нескольких факторов используются ранее
зафиксированные значения исследуемого показателя.
Используются следующие модели:
·
модели
распределенных лагов;
·
модели
полиномиальных лагов;
·
модели
геометрических лагом.
С учетом характера изменения экономического
показателя по времени модели могут быть стационарные и нестационарные.
Построение регрессионных моделей временных рядов
по МНК является достаточно сложной задачей и зависит от типа моделей.
7.3 Системы регрессионных
линейных уравнений
Модели систем регрессионных уравнений используются
для исследования сложных экономических закономерностей, которые описываются несколькими взаимосвязанными моделями
(уравнениями).
В зависимости от вида используемых моделей системы
уравнений могут быть линейными и нелинейными и соответственно для построения
регрессионных моделей используются различные модификации МНК.
Наиболее простыми являются системы линейных
одновременных уравнений, для построения регрессионных моделей которых используется
двухшаговый МНК.
4. Тематический план курса
«Э КО Н О М Е Т Р И К А»
для студентов заочного
отделения,
обучающихся по специальности мировая экономика
(в академических часах)
Т Е М А Лекции Лабора- Всего
торные
Тема 1. НАЗНАЧЕНИЕ, ПОНЯТИЯ И
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМЕТРИКИ 4 4
Определение и назначение эконометрики.
Многофакторные экономические процессы и адек-
ватные эконометрические модели для их математи-
ческого описания. Основные особенности построе-
ния эконометрических моделей по статистическим
данным. Классификация регрессионных экономет-
рических моделей.
Тема 2. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ
ОДНОФАКТОРНЫХ РЕГРЕССИОННЫХ
ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА (ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ) 4 8 12
Построение однофакторных регрессионных
полиномиальных моделей первого порядка
(парная регрессия) по методу наименьших
квадратов (МНК).
Требования к исходным статистическим данным.
Вывод аналитических формул для
определения
коэффициентов регрессии (КР)
по МНК.
Основные свойства КР. Оценка
значимости КР.
Оценка точности регрессионных моделей (РМ).
Прогнозирование значений зависимой
переменной (отклика) при
различных значениях
фактора (независимой перемонной).
Тема 3. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ МНОГО-
ФАКТОРНЫХ РЕГРЕССИОННЫХ ПОЛИНО-
МИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ (МНОЖЕСТВЕННАЯ
РЕГРЕССИЯ) 6 8 14
Построение многофакторных регрессионных
полиномиальных моделей (РПМ) по МНК
(множественная регрессия). Число необходимых
статистических данных, необходимых для постро-
ения РПМ при различном числе факторов и
различных степенных функциях.
Вывод формулы для определения КР по МНК.
Основные особенности КР и
оценка значимости КР.
Уточнение РПМ при незначимых
КР.
Вывод формулы для определения дисперсии
регрессионного значения
отклика (зависимой
переменной) при различных
значениях
факторов. Основная
особенность дисперсии.
Оценка точности прогноза отклика при
различных значениях факторов
с использованием РПМ.
Тема 4. ПОСТРОЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 4 4 8
Построение регрессионных нелинейных
моделей (РНЛМ) по МНК.
Основные особенности РНЛМ.
Тема 5. МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 4 4 8
Типы моделей временных рядов.
Построение регрессионных моделей времен-
ных рядов по МНК.
Тема 6. СИСТЕМЫ РЕГРЕССИОННЫХ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4 4
Системы линейных и нелинейных уравнений.
Построение регрессионных линейных
уравнений по МНК.
Всего по дисциплине 26 24 50
ЛИТЕРАТУРА
Учебники
и учебные пособия:
2. Макконнелл К.Р., Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика: В 2-х т. Т. 1: Пер. с 13-го англ. изд. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 486 с. Т. 2: Пер. с 13-го англ. изд. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 528 с.
3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. – 5-е изд., испр. – М.: Дело, 2001. – 400 с.
4. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 402 с. – (Серия «Университетский учебник»).
5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник/Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. – 3-е изд., перераб. – М.: Издательство «Дело и Сервис», 2001. – 368 с. – (Серия «Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова).
6. Орлов А.И. Эконометрика: Учеб. пособ. для вузов/ - М.: Издательство “Экзамен”, 2002. – 576 с.
7. Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – 2-е изд. Перераб. и доп. – М.: Дело, 2002. – 208 с.
Научная литература:
8.
Стефан
Шмидхейн совместно с Советом предпринимателей по устойчивому развитию. Смена
курса. Перспективы развития и проблемы окружающей среды: подход
предпринимателя. Пер. с англ. – М.: Геликон, 1994, 384 с.
9.
Управление
риском: Риск, Устойчивое развитие, Синергетика. – М.: Наука, 2000. – 431 с.
10.
Дрейпер
Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн.
Кн. 1/ Пер. с англ. – 2-е
изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1986. – 366 с., ил. Кн. 2/
Пер. с англ. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1987. –
351 с.: ил. – (Математико-статистические методы за рубежом).
11.
Тюрин
Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. Под ред. В.Э.
Фигурнова. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 528 с., ил.
12.
Боровиков
В.П., Боровиков И.П. STATISTICA – Статистический анализ и обработка данных в среде Windows – М.: Информационно-издательский дом «Филинь», 1997. – 608 с.
13.
Слотин
Ю.С. Композиционное планирование регрессионного эксперимента. М.: Знание,
1983, 52 с.
14.
Слотин
Ю.С. Планирование и анализ многофакторных испытаний при исследовании
работоспособности изделий. М.: Знание, 1986,
51 с.
15.
Слотин
Ю.С. Ранжирование факторов. Справочник: Надежность и эффективность в технике.
Том 5: Проектный анализ надежности. М.: Машиностроение, 1988, с. 310-316.
16.
Слотин
Ю.С. Многокритериальное ранжирование факторов. Труды международной конференции
по интервальным и стохастическим методам в науке и технике. (ИНТЕРВАЛ-92). 22-26 сентября 1992г. Москва, Россия, с. 162-166.
17.
Слотин
Ю.С. Статистическая оптимизация условий создания компонентов технических
изделий с заданным уровнем характеристик
// Качество и надежность изделий. № 5 (21). М.: Знание, 1992. С. 3 – 50.
18.
Слотин Ю.С. Многоцелевая оптимизация
гарантированных решений по снижению рисков и ликвидации последствий чрезвычайных
ситуаций // Труды Всероссийской конференции:
Проблемы защиты населения и территорий от чрезвычайных ситуаций. 23-26 сентября 1997 г. Красноярск:
Красноярский госуд. технический университет,
1997.
С. 209 – 217.
19.
Слотин
Ю.С. Многофакторное прогнозирование и эффективное управление качеством
окружающей среды // Сборник докладов 4-ой международной конференции: Проблемы
управления качеством окружающей среды. М.: Прима-Пресс-М, 1999. С.59-67.
20.
Слотин
Ю.С. Многоцелевое прогнозирование устойчивого развития регионов. Материалы 2-ой
международной конференции: Проблемы регионального и муниципального управления.
Москва, 18 мая 2000 г. М.: РГГУ, 2000
г. С. 95 – 98.
21.
Слотин
Ю.С. Статистическая многоцелевая оптимизация гарантированных компромиссных
решений. Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи
управления», Москва 26-28 сентября 2000 г. Изд-во: ИПУ РАН. 2000.
ISBN 5-201-09605-0. С. 2224 – 2260.
22.
Слотин
Ю.С. Интервальное построение регрессионных моделей по методу компромиссных
значений функции отклика. Труды международной конференции «Идентификация систем
и задачи управления», Москва 26-28 сентября 2000 г. Изд-во: ИПУ РАН. 2000.
ISBN 5-201-09605-0. С.1917 - 1932.
23.
Слотин
Ю.С. Оптимизация решений по управлению социально-экономической стабилизацией и
устойчивым развитием регионов. Проблемы управления безопасностью сложных
систем: Материалы 8-ой международной конференции. Москва, 19 дек. 2000 г./ Под
ред. Кульбы В.В. М.: РГГУ, 2000. С. 128-132.
24.
Слотин
Ю.С. Количественная оценка факторов с учетом эффектов взаимодействия при
моделировании риска и безопасности сложных систем. Modeling and Analysis of
Safety, Risk and Quality in Complex Systems / Proceedings of the International
ScientificScool MA SRQ – 2001. June
18-22, 2001, Saint-Petersburg, Russia. P. 185 –
188.
25.
Слотин
Ю.С. Многоцелевая оптимизация гарантированных прогнозов. Труды академии прогнозирования. Выпуск 2/2001. С.
65 – 83.
26.
Слотин
Ю.С. Экспертно-статистическая многоцелевая оптимизация социально-экономических
решений. 2-ые Чаяновские чтения, 27 марта 2002. Москва, Россия. М.: Изд. РГГУ,
2002. 6 с.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Контрольные вопросы предназначены для использования преподавателем на блиц-опросах, проводимых с целью активного изучения лекций и также при проведении зачетов и экзаменов.
1. Назначение эконометрики. Основные условия эффективных экономических решений.
2. Стандартная форма записи многофакторных полиномиальных моделей второго порядка. Формула определения числа параметров данных моделей при различном числе факторов.
3. Дифференцирование многофакторных полиномиальных моделей второго порядка и образование системы линейных уравнений для определения оптимальных значений факторов.
4. Дифференцирование двухфакторных полиномиальных моделей второго порядка и определение оптимальных значений факторов.
5. Определение по методу наименьших квадратов (МНК) коэффициентов регрессии однофакторных полиномиальных моделей первого порядка (парная регрессия).
6. Формула преобразования исходных значений факторов в безразмерные. Основные соотношения между исходными и безразмерными значениями факторов.
7. Вывод формулы для определения по МНК коэффициентов регрессии линейных по параметрам моделей (множественная регрессия).
8. Оценка точности регрессионных моделей.
9. Вывод формулы для определения дисперсии регрессионных значений экономических показателей при различных значениях факторов в линейных по параметрам моделях. Применение данной формулы для регрессионных полиномиальных моделей.
10. Построение регрессионных моделей временных рядов по МНК.
11. Построение регрессионных моделей линейных одновременных уравнений по МНК.
7.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО
ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
НА ТЕМУ
“ПОСТРОЕНИЕ
ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ”
Назначение методического пособия
- обеспечить
студентам квалифицированную помощь по выполнению контрольной работы по
построению эконометрических моделей.
Цель контрольной работы – оценка знаний студентов по построению
эконометрических моделей путем
статистического анализа исходных данных по исследованию экономических
закономерностей.
Выбор модели по исследованию
экономических закономерностей
Для построения эконометрических моделей (ЭКМ) используется метод
наименьших квадратов (МНК).
Построение ЭКМ производится
в виде однофакторных регрессионных моделей первого порядка, называемых моделями
парной
регрессии.
Однофакторные модели первого
порядка имеют вид
EY(X) = F(X) = bo + b
X (7.1)
где Y – количественный показатель
исследуемой экономической закономерности; X – переменная величина, называемая фактором, которая оказывает влияние
на изменение экономического показателя; E – оператор усреднения; bo, b
- параметры, значения которых определяются путем статистического
анализа исходных данных, характеризующих зависимость показателя от различных
значений фактора.
Конкретные значения
параметров bo, b
, определенные путем статистического анализа исходных данных по
исследованию экономических закономерностей, называются коэффициентами регрессии.
Коэффициенты регрессии (КР),
подставленные в модель (7.1), образуют однофакторную РПМ первого порядка или
модель парной регрессии
Y* (X) = b
+ b
X, (7.2)
Xmin
£ X £ Xmax (7.3)
где b
, b
- коэффициенты регрессии; Y* (X) –
значение показателя, определяемое расчетным путем при различных значениях
фактора и называемые регрессионными значениями экономического показателя.
Условию (7.3)
соответствует область допустимых
значений фактора, при которых возможно
определение регрессионных значений показателя.
Xmin, Xmax - называются граничными значениями факторов, которые определяются
по формулам
Xmin = 
Xu, u = 1,...,N, (7.4)
Xmax = 
Xu, u = 1,...,N, (7.5)
где N –
число различных значений фактора, при которых определены значения
экономического показателя и которые используются для определения коэффициентов
регрессии.
Модель (7.2) описывает
прямолинейную зависимость экономического показателя от значений фактора и
является наиболее простой для описания экономических закономерностей.
Величина и знак параметра b
определяет влияние фактора на изменение значений экономического
показателя. С увеличением абсолютного значения параметра b
влияние фактора возрастает.
При положительных значениях параметра b
с увеличением значений фактора значения экономического показателя
увеличиваются, а при отрицательных значениях – уменьшаются.
При значениях параметра b
, близких нулю, фактор не
влияет на изменение показателя. Графически исследуемая экономическая
закономерность параллельна оси абсцисс, на которой фиксируются значения
фактора. Значения показателя при различных значениях фактора могут
увеличиваться и уменьшатся случайным образом.
Исходные данные, необходимые для
построения эконометрических моделей
Статистические данные,
необходимые для построения регрессионных моделей (7.2), представляются в виде
таблицы 7.1
Таблица 7.1
|
u 1 2 3 . . . N – 1 N Xu
X(1) X(2) X(3)
. . . X(N-1) X(N)
Yu Y(1)
Y(2) Y(3) . . .
Y(N-1) Y(N) |
Различные значения фактора и
соответствущие значения экономического показателя, представленные в таблице
7.1, называются опытами по исследованию
экономических закономерностей.
Опытам соответствует модель
исследования экономических закономерностей, имеющая вид:
Yu = b
+ b
Xu + Wu, u = 1,2,...,N, N ³ 2, (7.6)
где Wu –
значения случайной величины, характеризующей точность модели парной регрессии и
соответственно точность определения значений экономического показателя в
опытах. Значения Wu
являются положительными и отрицательными величинами.
Определение коэффициентов регрессии по МНК
Для определения КР по МНК
используется функция
F(bo,b
) = 
( bo + b
Xu – Yu)
, (7.7)
называемая функционалом
МНК.
Основное свойство
функционала МНК - функция (7.7) для
заданного числа опытов является детерминированной положительной двухфакторной
функцией параметров модели (7.1).
Коэффициенты регрессии
определяются согласно условия
( bo + b
Xu – Yu)
= 
( b
+ b
Xu – Yu)
(7.8)
Простая структура модели (7.1)
позволяет вывести формулы для вычисления КР. Путем дифференцирования
функционала МНК (7.7) по каждому параметру образуется система двух линейных
уравнений, в результате решения которой получаются формулы для вычисления КР:
b
= 
(
- 
) (7.9)
b
= 
(N 
- 
) (7.10)
D = N 
- (
)
(7.11)
В формулах (7.9) – (7.11)
значения фактора Xu и экономического показателя
Уи
представлены в таблице 7.1.
Основные требования к исходным данным,
используемым для построения
эконометрических моделей
Вычисляемые по формулам
(7.9) – (7.11) коэффициенты регрессии являются наилучшими линейными оценками
(эффективные, состоятельные, несмещенные), если для исходных статистических
данных, представленных в таблице 1, выполняются следующие условия (гипотезы):
1.
Значения
фактора в опытах являются детерминированными.
2.
Значения
экономического показателя в опытах являются случайными величинами,
соответствующие нормальному закону.
3.
Точность
определения значений экономического показателя в опытах является постоянной
E(
) = 
=Const = 
, u=1,...,N. (7.12)
4. Результаты опытов (случайные ошибки по определению значений
экономического показателя) являются некоррелированными
случайными величинами
E(Wu,Wt) = 0, u ¹ t = 1,...,N (7.13)
и
имеют совместное нормальное распределение
Wu 
N(0, 
) (7.14)
В этом случае после
подстановки КР в модель (7.1) образуется нормальная линейная регрессионная
модель (НЛРМ).
Оценка точности регрессионных моделей
Оценка точности НЛРМ
производится по величине остаточной дисперсии, определяемой по формуле
= 
( b
+ b
Xu – Yu)
, (7.15)
где N –
число опытов в таблице 1; b
, b
- коэффициенты регрессии,
определяемые по формулам (7.9) – (7.11); Xu, Yu –
значения фактора и показателя в различных опытах.
Оценка точности коэффициентов регрессии
и проверка гипотез об их значимости
Знание остаточной дисперсии
позволяет определить дисперсии коэффициентов регрессии по формулам:
{b
} = 
/{N – [(
)
/
]} (7.16)
{b
} = 
/ { 
- [(
)
/N]} (7.17)
Ранее указывалось, что
абсолютное значение коэффициента регрессии
b
может быть близким нулю. В этом случае необходимо произвести проверку
гипотезы о равенстве нулю данного КР.
Математическая постановка и
решение данной задачи записывается следующим образом:
1.
Определяется
нулевая гипотеза
Ho: b
= 0 (7.18)
при альтернативной гипотезе
H
: b
¹ 0 (7.19)
2.
Производится
проверка гипотезы (7.18) с помощью t – распределения Стьюдента. Определяется расчетное значение t – критерия
t* = b
/
{b
} (7.20)
3.
Значение
(7.20) сравнивается с табличным значением 
при
числе свободы n = N – 2 и доверительном уровне a (обычно 0.95).
При
| t*| >
(7.21)
гипотеза (7.18) отвергается
и принимается гипотеза (7.19).
Аналогичным образом производится проверка значимости других КР. Отметим, что в случае принятия нулевой гипотезы соответствующий коэффициент регрессии приравнивается нулю (признается незначимым) и соответствующая степенная функция исключается из модели. Затем производится уточнение остальных (значимых) КР, остаточной дисперсии и дисперсий коэффициентов регрессии.
Оценка точности регрессионных значений
экономического показателя при различных значениях фактора
Завершающим этапом
построения эконометрической модели является получение формулы для определения
дисперсии регрессионого значения экономического показателя при различных
значениях фактора
{ Y* (X)}= 
(
- 2X
+ N 
)// [N 
- (
)
]
(7.22)
Xmin £ X £ Xmax
Значения Xmin, Xmax определяются по формулам (7.4), (7.5).
Формула (7.22) используется для построения двухсторонних доверительных интервалов регрессионных значений экономического показателя
[Y* (X) - 
S{ Y* (X)}; Y* (X) + 
S{ Y* (X)}] (7.23)
Xmin £ X £ Xmax
Табличное значение 
определяется
при доверительном уровне a (обычно 0.95). Значение Y* (X) определяется
по формуле (7.2). Значение
S{Y* (X)} определяется
по формуле (7.22).
Назначение доверительных интервалов, определяемых по формуле (7.23), состоит в оценке области значений экономического показателя, в которой находится истинная экономическая зависимость.
Построение доверительного интервала производится с помощью формул, описывающих зависимости верхних и нижних граничных значений от значений фактора.
Верхние граничные значения доверительного интервала определяются по формуле
Y*(X)верх. = Y* (X) + 
S{Y*(X)},
(7.24)
Xmin £ X £ Xmax
Нижние граничные значения доверительного интервала определяются по формуле
Y*(X)нижн. = Y* (X) - 
S{Y*(X)},
(7.25)
Xmin £ X £ Xmax
Разность между граничными значениями определяется по
формуле
D Y* (X) =Y*верх. - Y*нижн. = 2 
S{ Y* (X)}, (7.26)
{ Y* (X)}= 
(
- 2X
+ N 
) / [N 
- (
)
] ,
Xmin £ X £ Xmax
Максимальное значение
доверительного интервала определяется по формуле
D Y* (X)max =
D Y* (X) = 2 
S{ Y* (X{Dmax})}, (7.27)
Xmin £ X £ Xmax
Минимальное значение доверительного
интервала определяется по формуле
D Y* (X)min =
D Y* (X) = 2 
S{ Y* (X{Dmin})}, (7.28)
Xmin £ X £ Xmax
Для построенной
регрессионной модели первого порядка
доверительные границы являются криволинейными и определяются с помощью
уравнений второго порядка.
Последовательность
построения и анализа более сложных эконометрических моделей будет аналогичной, но
в отличие от модели парной регрессии для этого необходимо использование
специальных компьютерных программ.
Указанные программы описаны
в работах [11,12].
8.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО ПОСТРОЕНИЮ МОДЕЛИ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ
Тема контрольной работы – построение однофакторной
регрессионной модели первого порядка (парная регрессия) по исходным
статистическим данным исследования экономических закономерностей.
Цель контрольной работы – освоить построение
эконометрических моделей по методу наименьших квадратов (МНК).
Исследуемая экономическая
закономерность – зависимость совокупного личного дохода населения США от личного
распологаемого дохода населения в период
1959 г.– 1983 г.
Исходные данные по
исследованию экономической закономерности представлены в таблице 8.1.
Таблица 8.1
u Xu Yu u Xu Yu
1 479,7
440,4 14 810,3 737,1
2
489,7 452,0 15 865,3 768,5
3
503,8 461,4 16 858,4 763,6
4
524,9 482,0 17 875,8 780,2
5
542,3 500,5 18 906,8 823,1
6
580,8 528,0 19 942,9 864,3
7
616,3 557,5 20 988,8 903,2
8 646,8 587,7
21 1015,5 927,6
9
673,5 602,7 22 1021,6 931,8
10
701,3 634,4 23 1049,3 950,9
11
722,5 657,9 24 1058,3 963,3
12
751,6 672,1 25 1095,4 1009,2
13
779,2 696,8
X –
личный распологаемый доход населения США в период 1959 г. – 1983 г. (млрд. дол.
США в ценах 1972 г.).
Y – совокупный
личный расход населения США в период 1959 г.–1983г. (млрд. дол. США в ценах
1972 г.).
Последовательность выполнения контрольной работы
1.
Для
заданного варианта контрольной работы
(заданные опыты в табл. 8.1) записывается таблица исходных данных.
2.
Записывается
аналитический вид эконометрической модели (одновакторная модель первого
порядка).
3.
Определяется
формула преобразования исходных значений фактора (личного распологаемого дохода
населения США) в безразмерные значения.
4.
Записывается
таблица исходных значений в безразмерных значениях фактора.
5.
Записываются
формулы для определения коэффициентов регрессии. В соответствии с возможностями
используемых вычислительных средств (компьютер, мобильные компьютеры)
разрабатывается алгоритм проведения вычислений коэффициентов регрессии и их
вычисление.
6.
Записывается
регрессионная модель.
7.
Записывается
формула для вычисления остаточной дисперсии и производится ее вычисление.
8.
Определяются
формулы для вычисления дисперсий коэффициентов регрессии и производится их вычисление.
9.
Производится
оценка точности коэффициентов регрессии при 0,05 уровне значимости.
10.
Определяется
формула для вычисления дисперсии регрессионного значения экономического
показателя (совокупный личный расход населения США) при различных значениях
фактора.
11.
Определяется
формула доверительного интервала истинных значений экономического показателя
при 0,05 уровне значимости. Определяются минимальное и максимальное значения
доверительного интервала.
12.
Производится
построение графика уравнения регрессии с доверительными границами и с
значениями опытов.
Выполнение контрольной работы
для варианта опытов: 1, 7, 11, 19, 25
1. Для заданного варианта контрольной работы записывается таблица исходных статистических данных.
Таблица 8.2
u 1 2 3 4
5
Xu 479,7 616,3 722,5 942,9 1095,4
Yu 440,4 557,5 657,9 864,3 1009,2
2. Записывается аналитический вид эконометрической модели
EY(X)
= bo + b
X, (8.1)
где Y - совокупный
личный расход населения США; X - личный
распологаемый доход населения США.
3.
Определяется формула преобразования исходных значений фактора (личного
распологаемого дохода населения США) в безразмерные значения.
Для преобразования исходных
значений факторов в безразмерные используется формула
X* = 2(X – Xср.)/(Xmax – Xmin), (8.2)
Xср. = (Xmax + Xmin)/2,
где Xmax, Xmin - максимальное и минимальное значения фактора в табл. 8.2, соответственно
равные 1095,4 и 479,7.
Получена формула
X* = (X – 787,55)/307,85 (8.3)
4. По формуле (8.3) определяются безразмерные значения фактора и
записываются в таблицу 8.3
Таблица
8.3
u 1 2 3 4
5
X*u -1 - 0,56 - 0,21 0,5 +1
Yu 440,4
557,5 657,9 864,3 1009,2
5. Записываются формулы для определения
коэффициентов регрессии
b
= 
(
- 
), N =
5, (8.4)
b
= 
(N 
- 
), N =
5, (8.5)
D = N 
- (
)
, N = 5 (8.6)
Отметим, что в формулах (8.4) – (8.6) необходимо использовать безразмерные значения факторов.
Предварительно определяются
значения:
= 3529,3; 
= 2,61; 
= 550,59; 
= -0,27.
Затем по формуле (8.6)
вычисляется значение D = 12,98.
Коэффициенты регрессии равны:
b
= 721,1; b
= 285,5.
6. Записывается регрессионная модель
Y*(X)= 721,1 + 285,5 X*,
(8.7)
X* = (X –
787,55)/307,85, 479,7 £ X £ 1095,4
7. Записывается формула для вычисления остаточной дисперсии и
производится ее вычисление
= 
( 721,1 + 285,5 Xu – Yu)
(8.8)
Последовательность
вычисления остаточной дисперсии производится в соответствии с таблицей 8.4
Таблица 8.4
u X*u Yu Y*u (Yu – Y*u) (Yu – Y*u)
1 -1
440,4 435,6 4,8 23,04
2 -0,56 557,2 561,5 -3,72 13,84
3 -0,21 657,9 661,15 -3,25 10,56
4 0,5 864,3 863,85 0,45 0,2
5 1 1009,2 1006,6
2,6 6,76
Значение остаточной
дисперсии равно 18,1.
8. Определяются формулы для вычисления дисперсий коэффицентов регрессии и
производится их вычисление.
В формулы
{b
} = 
/{N – [(
)
/
]} (7.16)
{b
} = 
/ { 
- [(
)
/N]} (7.17)
подставляются остаточная
дисперсия и ранее найденные значения сумм.
{b
} = 18,1/{5 – [0,063/2,61]} =
3,66
{b
} = 18,1/{2,61 – [0,063/5]} = 7
9. Производится оценка точности коэффициентов регрессии при 0,05 уровне
значимости.
Определяются нулевые
гипотезы
Ho: b
= 0, Ho: b
= 0 (8.9)
при альтернативных гипотезах
H
: b
¹ 0 H
: b
¹ 0 (8.10)
Производится проверка
гипотез с помощью t – распределения Стьюдента. Определяются расчетные значения t – критерия
t*{ b
} = b
/
{ b
} = 721,1/1,92 = 376
t*{b
} = b
/
{b
} = 285,5/ 2,65 = 107,3
Расчетные значение
сравнивается с табличным значением 
при
числе
свободы n = 3 и доверительном уровне a (обычно 0.95). Найденное табличное значение
равно 3,182.
При условии
| t*| >
(8.11)
нулевые гипотезы отвергаются и коэффициенты регрессии признаются значимыми.
10.
Определяется формула
для вычисления дисперсии регрессионного значения экономического показателя при различных значениях фактора.
С этой целью используется формула
{ Y* (X)}= 
(
- 2X
+ N 
)/ [N 
- (
)
]
(7.22)
Xmin £ X £ Xmax
Подставляются значения остаточной
дисперсии, числа опытов и ранее найденные значения сумм. После арифметических
преобразований находится формула для определения дисперсии регрессионного
значения экономического показателя
{ Y* (X)}= 3,7 +0,77 X* + 7,1 
(8.12)
X* = (X – 787,55)/307,85, 479,7 £ X £ 1095,4.
11.
Определяется
формула доверительного интервала истинных значений экономического показателя
при 0,05 уровне значимости. Определяются минимальное и
максимальное значения доверительного интервала.
Для определения формулы
доверительного интервала используется формула
[Y* (X) - 
S{ Y* (X)}; Y* (X) + 
S{ Y* (X)}], (7.23)
Xmin £ X £ Xmax
Табличное значение 
определяется
при доверительном уровне a (обычно 0.95) и числе
свободы n. Значение Y* (X) определяется
по формуле (7.2). Значение S{Y* (X)} определяется
по формуле (7.22). Число степеней
свободы равно
n = N – 2 = 5 – 2 = 3.
Табличное значение t – критерия равно 3,182.
Используя ранее полученные формулы для определения
регрессионного значения показателя (8.7) и дисперсии регрессионного значения
показателя, определим формулу доверительных интервалов
{(721,1 + 285,5 X*) – 3,182(3,7 +0,77 X* + 7,1 
)
;
(721,1 + 285,5 X*) + 3,182(3,7 +0,77 X* + 7,1 
)
}, (8.13)
X* = (X – 787,55) / 307,85,
479,7 £ X £ 1095,4
Верхние граничные значения доверительного
интервала определяются по формуле
Y*(X)верх. = Y*(X) + 
S{Y*(X)} =
= (721,1 + 285,5 X*) + 3,182(3,7 +0,77 X* + 7,1 
)
, (8.14)
X* = (X – 787,55) /
307,85, 479,7 £ X £ 1095,4
Нижние граничные значения доверительного
интервала определяются по формуле
Y*(X)нижн. = Y*(X) - 
S{Y*(X)} =
= (721,1 + 285,5 X*) - 3,182(3,7 +0,77 X* + 7,1 
)
, (8.15)
X* = (X – 787,55) /
307,85, 479,7 £ X £ 1095,4
Величина доверительного интервала от значений фактора имеет квадратичную экстремальную зависимость и определяется по формуле
DY*(X*)= 6,364(3,7 +0,77 X* + 7,1 
)
, (8.16)
X* = (X – 787,55)/307,85, 479,7 £ X £ 1095,4
Максимальное значение доверительного интервала достигается при максимальном значении фактора и равно
DY*(X*)max=
DY*(X*)=6,364(3,7+0,77+7,1)
=6,364*3,4=21,6 (8.17)
-1 £ X* £ +1
Минимальное значение интервала достигается почти при
среднем значении фактора и равно
DY*(X*)min = 
DY*(X*) = 6,364*(3,7)
= 6,364*1,93= 12,28 (8.18)
-1 £ X* £ +1
12. Построение графика уравнения
регрессии с доверительными границами и с значениями опытов.
Для построения данного
графика определяются различные верхние
и нижние граничные значения доверительного интервала при различных значениях
фактора, представленные в таблице 8.5.
Таблица 8.5
X*u - 1
- 0,5 0 0,5 +1
Y*(X*u) 435,6
578,35 721,10 863,85 1006,6
Y*(X*u)верх. 444,85
585,11 727,24 871,17 1017,4
Y*(X*u)нижн. 425,35 571,59 714,96
856,53 995,8
DY*(X*u) 18,50 14,52
12,28 16,64 21,6