Вопросы по курсу «Математические модели в управлении», выносимые на итоговую контрольную работу

(Осенний семестр)

 

Основные понятия в принятии решения и Исследовании операций

1. Понятие управления. Понятие мероприятия или операции. Уровни управления и принятия решений.

2. Основные компоненты необходимые для принятия решения (структурирование операции), раскрыть их смысл. Привести примеры.

3. Раскрыть смысл понятий: цель, альтернативы, критерии сравнения альтернатив, ограничения, управляемые и неуправляемые факторы, Лицо принимающее решение (ЛПР). Привести примеры.

4. Этапы принятия управленческих решений. Раскрыть смысл каждого этапа.

5. Основные понятия Исследования операций – операция, решение, оптимальное решение, целевая функция и критерий сравнения альтернатив, область допустимых решений.

6. Сформулировать и написать общую задачу выбора оптимального решения в Исследовании операций. Раскрыть смысл всех используемых при этом понятий: область допустимых решений, допустимое решение, оптимальное решение, целевая функция.

 

Виды моделей и моделирования

7. Что такое модель и моделирование. Понятие адекватности модели.

8. Виды моделей и моделирования. Их характеристика. Примеры.

9. Понятия аналоговой, физической и математической модели, их характеристика, примеры.

10. Понятие математической модели. Этапы построения математической модели.

11. Виды математических моделей: линейные, нелинейные, стационарные, динамические, детерминированные, стохастические и в условиях полной неопределенности, оптимизационные, многокритериальные, сетевые. Их краткая характеристика. Примеры.

12. Понятие о динамических (нестационарных) математических моделях. Как составляются динамические математические модели. Приведите примеры динамических математических моделей их графические решения: модель Мальтуса, модель Ферхюльста.

13. Понятие о математических моделях – детерминированных, стохастических и в условиях полной неопределенности. Два вида неопределенности. Приведите примеры неопределенных факторов, которые можно рассматривать как случайные и примеры полностью неопределенных (непредсказуемых) факторов.

 

Математические модели задач линейного программирования

14. Сформулировать и написать задачу (математическую модель) линейного программирования об использовании ресурсов (задача планирования производства). Привести пример и общую постановку задачи. Раскрыть смысл входящих в математическую модель переменных, целевой функции и ограничений.

15. Сформулировать и написать задачу (математическую модель) линейного программирования о составлении рациона (задача о диете). Привести пример и общую постановку задачи. Раскрыть смысл входящих в математическую модель переменных, целевой функции и ограничений.

16. Сформулировать и написать задачу (математическую модель) линейного программирования о финансовом планировании (задача формирования инвестиционного портфеля). Привести пример и общую постановку задачи. Раскрыть смысл входящих в математическую модель переменных, целевой функции и ограничений.

17. Сформулировать и написать транспортную задачу (математическую модель). Привести пример и общую постановку задачи. Раскрыть смысл входящих в транспортную модель переменных, целевой функции и ограничений.

18.Что означают «открытая» и «закрытая» транспортная задача, и какие меры необходимо принять для восстановления условия баланса. Понятия фиктивного поставщика и фиктивного потребителя. Привести примеры открытой транспортной задачи, когда необходимо ввести фиктивного поставщика или фиктивного потребителя.

19. Сформулировать и написать задачу (математическую модель) формирования оптимального штата фирмы (на примере). Раскрыть смысл входящих в математическую модель переменных, целевой функции и ограничений.

20. Понятие о целочисленных задачах линейного программирования. Сформулировать и написать задачу (математическую модель) о ранце в общем виде. Раскрыть смысл входящих в математическую модель переменных, целевой функции и ограничений.

21. Сформулировать и написать задачу (математическую модель) закрепления самолетов за воздушными линиями. Привести пример и общую постановку задачи. Раскрыть смысл входящих в математическую модель переменных, целевой функции и ограничений.

22. Сформулировать и написать задачу (математическую модель) о ранце с двоичными переменными в общем виде. Раскрыть смысл входящих в математическую модель переменных, целевой функции и ограничений.

23. Сформулировать и написать задачу (математическую модель) о назначениях в общем виде. Раскрыть смысл входящих в математическую модель переменных, целевой функции и ограничений.

24. Сформулировать и написать задачу (математическую модель) коммивояжера в общем виде. Раскрыть смысл входящих в математическую модель переменных, целевой функции и ограничений.

 

Методы решения задач линейного программирования

25. Написать задачу линейного программирования в общей, стандартной и канонической форме. Алгоритм приведения задачи линейного программирования в стандартной форме к канонической. Как связана задача максимизации целевой функции с задачей ее минимизации?

26. Графическое решение задачи линейного программирования с двумя переменными на максимизацию и минимизацию целевой функции (на примере).

27. Алгоритм графического метода решения задачи линейного программирования с двумя переменными. Графическое изображение целевой функции, вектора-градиента, ограничений-неравенств (области допустимых решений). В каком месте области допустимых решений достигается оптимальное решение задачи линейного программирования?

28. Приведите графически различные случаи, которые могут встретиться при решении задачи линейного программирования с двумя переменными.

29. Сущность симплекс-метода решения задач линейного программирования. В какой форме должна быть сформулирована задача линейного программирования для применения симплекс-метода? Что такое базисные и свободные переменные. Что называется допустимыми и недопустимыми решениями? Что такое допустимые базисные решения и как они связаны с вершинами выпуклого многогранника решений? В каком месте многогранника допустимых решений достигается оптимальное значение целевой функции?

30. Алгоритм симплекс-метода решения задачи линейного программирования. Демонстрация алгоритма симплекс-метода на конкретном примере. Что является критерием остановки симплекс-метода при достижении максимума или минимума целевой функции?

 

Задачи дробно-линейного программирования и методы их решения

31. Сформулировать и записать задачу дробно-линейного программирования. В каких задачах встречаются дробно-линейные целевые функции и приведите определение и запись целевых функций для этих случаев?

32. Графическая интерпретация задачи дробно-линейного программирования с двумя переменными.

33. Запись в общем виде задачи (математической модели) дробно-линейного программирования. Приведение задачи дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования.

 

Особенности задач целочисленного линейного программирования и метод их решения

34. Понятие о целочисленных задачах линейного программирования. Примеры задач целочисленного программирования. Почему недопустимо находить целочисленное решение задачи целочисленного программирования путем округления дробного решения обычной задачи линейного программирования (рассмотреть на графическом примере)?

35. Сущность метода ветвей и границ для решения задач целочисленного программирования. Графическая интерпретация метода ветвей и границ и построение дерева решений. Алгоритм метода ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования с двумя переменными.

 

Анализ чувствительности и теория двойственности

36. Напишите пару взаимно двойственных задач линейного программирования в общем виде. Приведите экономическую интерпретацию двух взаимно двойственных задач. Что означают теневые цены (неявные цены, двойственные оценки ресурсов)?

37. Для пары взаимно двойственных задач линейного программирования записанных в общем виде проведите их сравнение и опишите их различие между собой. Приведите пример исходной задачи линейного программирования и постройте для нее двойственную задачу.

38. Сформулируйте первую теорему двойственности и приведите ее экономический смысл.

39. Запишите пару взаимно двойственных задач линейного программирования (в общем виде) и приведите их к каноническому виду. В чем состоит экономический смысл вводимых при этом дополнительных переменных. Что означают понятия: дефицитные и избыточные ресурсы?

40. Сформулируйте вторую теорему двойственности. Приведите взаимное соответствие между полным набором переменных в исходной задаче и полным набором переменных в двойственной задаче при их оптимальном решении. Как с помощью второй теоремы двойственности находить оптимальное решение двойственной задачи линейного программирования, располагая оптимальным решением исходной задачи?

41. Сформулируйте третью теорему двойственности. Что показывают теневые цены (двойственные оценки) при анализе чувствительности целевой функции?

 

Сетевые (потоковые) модели

42. сформулируйте понятия графа, дуги, ориентированной и неориентированной дуги (ребра), веса дуги.

43. Сформулируйте задачу о максимальном потоке (на примере) и приведите ее математическую модель. Запишите содержательную математическую модель задачи о максимальном потоке в общем виде.

44. Сформулируйте задачу о кратчайшем пути (на примере) и приведите ее математическую модель. Запишите содержательную математическую модель задачи о кратчайшем пути в общем виде.

45. Сформулируйте задачу о нахождении критического пути в сетевом графике, как задачу определения максимального пути в сети. Сформулируйте задачу построения сетевого графика (на примере) и постройте ее математическую модель. Запишите содержательную математическую модель задачи о нахождении критического пути в сетевом графике (или задачи определения максимального пути в сети) в общем виде.