(протокол N 1 от 3.09.03)

Курс “Математика” является основным, входит в цикл общепрофессиональных дисциплин для специальностей №060100 – Экономическая теория, №060600 – Мировая экономика, № - Финансы и кредит. На него опираются такие курсы, как теория вероятностей и математическая статистика, исследование операций, математические методы, микро-макроэкономика и ряд других экономико-математических дисциплин.

Особенностью курса является его прикладная экономическая направленность: рассматриваются простейшие приложения математики в экономике и управлении – балансовые модели, предельный анализ, эластичность функции, производственные функции, модели экономической динамики и др. Многообразие тем с примерами и задачами экономического содержания, взятых из разных сфер бизнеса и управления – важнейшая черта курса, т.е. содержание курса адаптировано для студентов Института экономики, управления и права. К особенности курса также можно отнести то, что рассмотрение большинства тем начинается с постановки практической задачи, затем рассматривается соответствующий математический аппарат, затем решается поставленная задача.

Взгляды на математику “великих” (от античности до наших дней). Их оценка роли и места математики и математических методов в решении интеллектуальных задач из различных сфер человеческой деятельности. Основные этапы становления современной математики и ее структура. Значение математических знаний в современном образовании экономиста и менеджера.

Основные понятия. Виды матриц. Действия над матрицами и их свойства: сложение, умножение на число, произведение, возведение в целую степень, матричные многочлены, транспонирование. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы.

Основные понятия. Вычисление определителей 1-3 порядка, правило Саррюса. Свойства определителей. Дополнительный минор, алгебраическое дополнение. Разложение определителей по элементам некоторого ряда.

Основные понятия: минор k-го порядка, ранг матрицы, базисный минор. Метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований для нахождения ранга матрицы.

Невырожденная матрица. Обратная матрица. Метод присоединенной матрицы, метод элементарных преобразований (метод Гаусса) для вычисления обратной матрицы. Матричные уравнения.

Основные понятия. Исследование систем линейных уравнений: несовместность, совместность (определенность, неопределенность). Теорема Кронекера – Капелли. Метод Гаусса. Базисные и свободные переменные. Частные и общее решения. Формулы Крамера. Однородные системы линейных уравнений.

Множества и подмножества, их свойства. Операции над множествами. Отношения между множествами. Числовые множества. Элементы логической символики. Числовые промежутки. Окрестность точки. Абсолютная величина вещественного числа.

Понятие функции. Область определения, область изменения. Способы задания функции действительного аргумента. График числовой функции. Основные характеристики: четные, нечетные, монотонные, периодические функции. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. Преобразования графиков.

Понятие о числовых последовательностях. Последовательности как функции на множестве натуральных чисел. Способы задания. Основные характеристики: монотонность, ограниченность. Предел последовательности: определение, геометрический смысл. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей. Операции над пределами последовательностей. Пределы и неравенства. Число е как предел последовательности. Экономический смысл числа е и показательной функции, связь с формулой вычисления сложных процентов.

Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Замечательные пределы и их следствия. Эквивалентные бесконечно малые функции. Приближенные вычисления.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Точки разрыва и их классификации. Основные теоремы о непрерывных функциях (сумма, разность, произведение, частное). Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений, промежуточного значения.

Понятие производной, механический и геометрический смысл. Уравнение нормали и касательной к кривой. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производная суммы, разности, произведения, частного. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Дифференцирование неявных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Дифференциал функции, геометрический смысл. Основные теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Применение производной к приближенному решению уравнений.

Теоремы о дифференцируемых функциях: Ферма, Ролля (о корнях производной), Лагранжа (о конечных приращениях), Коши (об отношении приращений двух функций). Условия возрастания и убывания функции. Необходимые и достаточные признаки экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Условия выпуклости и вогнутости функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика. Экономический смысл производной. Общие, средние и предельные показатели в экономике. Постановка и решение простейших оптимизационных экономических задач. Эластичность и ее применение в экономическом анализе. Свойства эластичности и эластичность элементарных функций. Виды эластичностей в экономике: эластичность по цене, по доходу, эластичность замещения ресурсов и т.п.. Простейшие экономические модели, использующие понятие эластичности, связь эластичности с выручкой продавцов и расходами покупателей, связь цены и издержек в условиях монополии, эластичность и налоговая политика.

Понятие о метрическом пространстве. Область определения. Способы задания. Линия и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.

Частные производные и их геометрическое истолкование. Частные производные высших порядков. Теорема Шварца. Дифференцируемость и полный дифференциал функции. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков. Производная сложной функции. Полная производная. Инвариантность формы полного дифференциала. Дифференцирование неявной функции. Производная по направлению. Градиент.

Основные понятия. Необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Условный экстремум. Метод Лагранжа. Метод наименьших квадратов. Однородные функции. Теорема Эйлера. Производственные функции и их исследование с помощью производных. Предельные и средние экономические показатели на базе производственных функций. Постановки экономических оптимизационных задач и обзор методов их решения. Задача максимизации прибыли фирмы. Задача максимизации объема выпускаемой продукции при ограничении затрат на приобретение ресурсов.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной, метод интегрирования по частям, интегрирование рациональных дробей. Берущиеся и неберущиеся интегралы.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический смысл интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах. Приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла: формула прямоугольников, формула трапеций, формула парабол.

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования. Интеграл от разрывной функции.

Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1979.

9. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 ч. -М.: Рольф, 2002.

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1999. Ч. 1.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС, 1997.
3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2000.
4. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: Учебное пособие. М.: Высшая школа, 1999.
5. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики / Под ред. А.И. Карасева, Н.Ш. Кремера. М.: Экономическое образование, 1989.
6. Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике. М.: Статистика, 1974.
7. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. М.: Финансы и статистка, 1998, Ч. 1.
8. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. -М.: Наука, 1967.
9. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1,2. -М.: Наука, 1968.

1. Матрицы, операции над ними и их свойства. Транспонирование матриц.
2. Определитель матрицы. Свойства определителя.
3. Миноры и алгебраические дополнения. Их связь с определителем матрицы.
4. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
5. Метод исключения переменных Гаусса.
6. Теорема Крамера.
7. Теорема Кронекера-Капелли.
8. Исследование общей системы линейных уравнений. Базисные и свободные неизвестные.
9. Решение однородной системы линейных уравнений.
10. Множества. Операции над множествами.
11. Определение функции, способы ее задания. Обратная функция, сложная функция.
12. Определение предела. Односторонний предел. Бесконечно малые величины.
13. Свойства функции, имеющей предел.
14. Основные теоремы о пределах.
15. Первый замечательный предел.
16. Второй замечательный предел.
17. Непрерывность функции. Признак непрерывности монотонной функции.
18. Непрерывность элементарных функций.
19. Вычисление трех важных пределов.
20. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши.
21. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
22. Производная. Геометрический смысл производной. Производные элементарных функций.
23. Производная обратной функции. Производные обратно тригонометрических функций.
24. Формула приращения функции. Дифференциал.
25. Правила вычисления производных (производная суммы, произведения и частного функций, производная сложной функции).
26. Теоремы Ферма, Ролля.
27. Теоремы Лагранжа, Коши.
28. Формула Тейлора.
29. Исследование функции с помощью производных (условия постоянства, возрастания и убывания функции).
30. Необходимое и достаточные условия экстремума.
31. Правило Лопиталя.
32. Функции нескольких переменных. Понятие предела.
33. Частные производные. Формула полного приращения функции нескольких переменных. Полный дифференциал.
34. Производные высших порядков.
35. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.
36. Производная по направлению. градиент.
37. Условный экстремум. Метод Лагранжа для решения задач на условный экстремум.
38. Однородные функции. Теорема Эйлера.
39. Определение первообразной функции, множество первообразных.
40. Теорема Ньютона-Лейбница.
41. Методы вычисления неопределенного интеграла (замена переменной, интегрирование по частям).
42. Определенный интеграл - задача о площади криволинейной трапеции.
43. Свойства определенного интеграла.
44. Несобственные интегралы.
45. Дифференциальные уравнения первого порядка.
46. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.