СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка..................................................................................................... 4

Часть I. Теория вероятностей........................................................................................... 7

Список источников и литературы................................................................................... 9

Контрольные вопросы к курсу....................................................................................... 10

Тематический план курса “Теория вероятностей”........................................................ 11

Часть II. Математическая статистика............................................................................. 12

Список источников и литературы................................................................................. 14

Контрольные вопросы к курсу....................................................................................... 15

Тематический план курса “Математическая статистика”............................................. 16

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Курс “Теория вероятностей и математическая статистика” относится к циклу естественнонаучных дисциплин, читается студентам второго курса экономического факультета и факультета управления по специальностям: № 060600 - Мировая экономика, №060100 - Экономическая теория, № 061000 - Государственное и муниципальное управление и № 061100 – Менеджмент в течение третьего и четвертого семестров. Курс состоит из двух частей: первая часть ‑ «Теория вероятностей», вторая – «Математическая статистика». Первая и вторая части курса читаются соответственно в третьем и четвертом семестрах.

Предмет курса ‑ изучение вероятностных закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов, массовых однородных случайных явлений в науке и жизни общества, а также математических методов систематизации и исполь­зо­вания статистических данных для научных и практических выводов.

Цель курса ‑ обеспечить овладение студентами основными понятиями и методами теории вероятностей и математической статистики, что позволяет оценивать надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала. Значительное внимание уделяется анализу и интерпретации результатов статистической обработки данных с использованием аппарата регрессионного и корреляционного анализа, широко применяемого в исследованиях социально-экономических процессов и явлений.

В результате изучения первой части курса «Теория вероятностей» студент должен знать:

· основные понятия и теоремы теории вероятностей;

· основные законы распределения случайных величин;

· методы регрессионного и корреляционного анализа.

Студент должен уметь:

· строить вероятностные модели;

· вычислять вероятности случайных событий;

· применять наиболее важные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики;

· использовать методы регрессионного и корреляционного анализа.

В результате изучения второй части курса «Математическая статистика» студент должен знать:

· основные понятия матема­ти­ческой статистики;

· методы сбора, обработки и анализа статистических данных в зависимости от целей исследования;

· технику проверки гипотез;

· методы корреляционного и регрессионного анализов.

Студент должен уметь:

· выделить проблему, исследование которой может быть связано со статис­ти­чес­ким анализом;

· определить генеральную совокупность и исследуемую случайную величину;

· сформулировать математическую постановку задачи;

· собрать экспериментальный материал и сформировать выборку;

· с учетом поставленной задачи, используя методы математической статистики, провести обработку и анализ данных;

· использовать вычислительную технику при выполнении статистических расчетов.

Приводимые в курсе примеры, не только разъясняют общие положения теории, но и указывают на связь этих положений с экономическими задачами, дают указания на приложения общетеоретических результатов, развивают умение применять эти результаты в конкретных задачах, например, таких как контроль качества продукции, организация гарантийного обслуживания, изучения связи между суммой издержек обращения на одно предприятие торговли и объемом розничного товарооборота. Важнейшие статистические методы и приемы иллюстрируются примерами из практики отечественных и зарубежных предприятий (контроль качества продукции, обработка анкет, связь экономических показателей развивающихся стран), детально разбирается методика расчетов.

Курс “Теория вероятностей и математическая статистика” является базой для изучения таких дисциплин как «Статистика» и “Эконометрика” и совместно с курсами “Математика”, “Вычислительная техника и программирование”, “Информационные системы” представляет целостную систему знаний в области математических методов и информационных технологий, необходимую современному специалисту в области экономики.

Объем первой части курса ‑ 26 часов, из них лекции ‑ 14 часов, лабораторные занятия ‑ 12 часов; объем второй части ‑ 38 часов, из них лекции ‑ 20 часов, лабораторные занятия ‑
18 часов.

Итоговая аттестация студентов проводится по рейтинговой системе. В рамках каждого семестра необходимо выпол­нить две контрольные работы и сдать коллоквиум. Каждый вид контроля оценивается определенным количеством баллов: зачтенная контрольная работа – от 60 до 100 баллов, сданный коллоквиум – от 60 до 100 баллов.

Максимально за работу в семестре можно набрать 300 баллов, для аттестации необходимо иметь не менее 180 баллов. Если не зачтена хотя бы одна контрольная работа или не сдан коллоквиум, студент не аттестуется.

 

 

ЧАСТЬ I. “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ”

 

ВВЕДЕНИЕ

Предмет, содержание и задачи курса. Структура курса.

Основные типы социально-экономических задач, решаемых с привлечением методов и моделей теории вероятностей. Вероятностный, статистический и вероятностно-статистический подходы к принятию решений.

 

1          ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Предмет теории вероятностей и ее связь с реальностью. Различные подходы к определению вероятности. Примеры вероятностных задач (маркетинг, контроль качества, разработка товаров и т.п.).

Событие. Случайные события как подмножества множества простейших исходов. Основные понятия алгебры событий.

Вероятность события. Свойства вероятности. Частота, или статистическая вероятность, события. Принцип практической уверенности.

 

 2         ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Теорема сложения и следствия из нее. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения и следствия из нее.

Система гипотез. Формула полной вероятности и теорема Байеса. Принятие решений: байесовский подход. Пример использования дерева решений для проведения маркетингового исследования по продаже нового товара фирмой.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

 

 3         СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ             ХАРАКТЕРИСТИКИ

 

Случайная величина. Примеры случайных величин. Виды случайных величин (конечные, дискретные, непрерывные). Ряд распределения, многоугольник распределения.

Функция распределения  как  универсальная  характеристика случайной величины и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.

Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Эффект нулевой вероятности.

Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Моменты: дисперсия, среднее квадратическое отклонение

Свойства математического ожидания и дисперсии.

 

 4         ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Биномиальное распределение и его параметры. Использование биномиального распределения при решении задач, связанных с контролем качества продукции.

Распределение Пуассона и его параметры. Применение распределения Пуассона при расчете необходимой численности персонала подразделения с заданным объемом объектов обработки.

Нормальное распределение и его параметры. Теоремы Муавра - Лапласа. Примеры решения задач, связанных с гарантийным обслуживанием. Задачи о конкуренции.

Показательное распределение и его параметры. Решение задач по определению времени ожидания получения ответа на запрос.

Равномерное распределение и его параметры. Расчет вероятности исполнения заказа в заданное время.

 

 5         СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Понятие о системе случайных величин. Система двух случайных величин.

Закон распределения, функция распределения, условные законы распределения.

Числовые характеристики системы двух случайных величин. Регрессия и корреляция. Коэффициент корреляции и его свойства. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X (X на Y) .

Реальные примеры корреляционной связи между объемом продаж и затратами на рекламу, заработной платой и объемом производства.

 

 

 6         ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

            ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

 

Устойчивость средних и закон больших чисел.

Неравенство Чебышева. Основные предельные теоремы. Центральная предельная теорема и ее приложения.

 

 


СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

 

Обязательная литература

 

       Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука. 1969, 576 с.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая                         школа, 2000, 478 с.

Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие

для эконом. спец. вузов. - М.: Изд-во Высшей школы экономики, 1995, 208 с.

Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: "Аудит" Изд.                                    Объединение ЮНИТИ, 1997, 590 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М: «Высшая школа»,1999, 400 с.

Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и             математическая статистика./ Под ред. Ефимова. М.: Наука, 1990, 478 с.

Ганнушкина С.А., Синицын В.Ю. Сборник задач по теории вероятностей. М.:           РГГУ, 1997, 52 с. 

 

Дополнительная литература

 

Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и                           математическая статистика. М.: Высшая школа,1991, 461 с.

Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. М.: Финансы и        статистика,1995, 365 с.

Шмойлова Р.А. Теория статистики. М.: Финансы и статистика,2000, 558 с.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К КУРСУ

 


1.                  Вероятность как частота события. Классическая вероятностная модель. Аксиомы теории вероятностей

2.                  Сумма событий. Совместные и несовместные события. Теорема сложения для классической модели. Следствия теоремы сложения.

3.                  Произведение событий. Зависимые и независимые события. Понятие условной вероятности. Теорема умножения для классической модели. Следствия теоремы умножения.

4.                  Формула полной вероятности.

5.                  Теорема Байеса.

6.                  Повторение испытаний. Формула Бернулли.

7.                  Случайные величины, их виды и примеры.

8.                  Функция распределения как универсальная характеристика случайных величин и ее свойства.

9.                  Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства.

10.              Математическое ожидание случайной величины и ее свойства.

11.              Дисперсия случайной величины и ее свойства.

12.              Равномерное распределение случайной величины и его параметры.

13.              Биномиальное распределение случайной величины и его параметры.

14.              Распределение Пуассона и его параметры.

15.              Нормальное распределение случайной величины и его параметры.

16.              Системы случайных величин и их функциональные характеристики.

17.              Зависимость случайных величин. Корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции и его свойства.

18.              Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X (X на Y) .

19.              Неравенство Чебышева.

20.              Основные предельные теоремы. Центральная предельная теорема.

 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ”
(в часах)

 

 

Тема

Лекции

Лабораторные

занятия

Всего

1. Основные понятия теории вероятностей

1

2

3

2. Основные теоремы теории вероятностей

2

2

4

3.Случайные величины, способы их задания и числовые ха-рактеристики

4

2

6

4. Основные законы распределения случайных величин

4

4

8

5. Системы случайных

величин

2

2

4

6. Закон больших

чисел

1

 

1

ИТОГО

14

12

26

 

ЧАСТЬ II. “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”

 


ВВЕДЕНИЕ

 

Предмет, содержание и задачи курса. Структура курса.

Взаимоотношения математической статистики с теорией вероятностей.

Математическая статистика и анализ данных.

 

 1         ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

 

Генеральная совокупность, выборка из нее. Основные способы организации выборки. Вариационный ряд, статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения, гистограмма, полигон частот. Примеры, поясняющие каждое определение и понятие.

 

 

 2         СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Статистические оценки параметров распределения: состоятельные и несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии.

Точные распределения некоторых выборочных характеристик: распределение ; распределение t (Стьюдента); распределение F (Фишера).

Оценка параметров по малым выборкам: понятие доверительного интервала; доверительный интервал для центра нормального распределения при известном и неизвестном ; доверительный интервал для ; доверительный интервал для вероятности; доверительные интервалы в случае асимптотически нормальных оценок.

 

 3         СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА

 

Статистические гипотезы и их прикладное назначение в анализе экономических данных и статистическом моделировании.

Общая задача проверки гипотез. Критическая область и область принятия гипотезы. Критерий знаков. Критерий Уилкоксона.

Статистическая проверка гипотез относительно средних нормального распределения: гипотеза о положении центра группирования; проверка гипотезы о равенстве двух центров распределения. Применение статистической проверки гипотез при оценке эффективности рекламной кампании.

Статистическая проверка гипотез относительно дисперсий нормального распределения: проверка гипотезы о равенстве дисперсий; проверка гипотезы об однородности ряда дисперсий.

Статистическая проверка гипотез о законе распределения: критерий согласия  (критерий Пирсона).

 

4          КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

 

Регрессия и корреляция в теории вероятностей и математической статистике. Функциональные и корреляционные зависимости.

Выборочные характеристики связи и их вычисления.

Линейная и нелинейная регрессия. Оценка параметров линейной регрессии по методу наименьших квадратов. Доверительные интервалы для параметров линейной регрессии. Проверка значимости регрессии. Коэффициент детерминации. Примеры использования регрессионного анализа при построении прогноза развития на основе выборочных данных о деловой активности однотипных предприятий.

Множественная регрессия.

 

5          ОСНОВЫ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Задачи факторного анализа. Понятие об однофакторном анализе. Примеры применения факторного анализа к экономическим задачам.

 

6          ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ: БАЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД

Априорные и апостериорные вероятности.

Минимизация потерь (максимизация прибыли). Оценки параметров.

Построение дерева решений с использованием апостериорных вероятностей.

Функция полезности и ее применение для уменьшения риска.

 

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

 

Обязательная литература

 

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука. 1969, 576 с.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая                         школа, 2000, 478 с.

Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и                           математическая статистика. М.: Высшая школа,1991, 461 с.

Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие

для эконом. спец. вузов.- М.: Изд-во Высшей школы экономики, 1995, 208 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М: «Высшая школа»,1999, 400 с.

Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и

математическая статистика./ Под ред. Ефимова. М.: Наука, 1990, 478 с.

Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: "Аудит" Изд.

Объединение ЮНИТИ, 1997, 590 с.

статистика,1995.

Шмойлова Р.А. Теория статистики. М.: Финансы и статистика,2000,558 с.

 

Дополнительная литература

 

Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика,1995, 365 с.

Кади Д Количественные методы в экономике. М.:

Прогресс. 1977, 233 с.

Silver M. S. Business statistics. 2-nd edition/ -McGraw-Hill, 1997.

Учебники в Интернете:

http://www.statsoft.ru/home/textbook/

“Вопросы статистики”. Периодический научно-исследовательский журнал.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ

 

1.      Генеральная совокупности и выборка (основные понятия). Способы организации выборок. Вариационный ряд.

2.      Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Гистограмма. Полигон частот.

3.      Состоятельные и несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии.

4.      Доверительный интервал для математического ожидания при известном .

5.      Распределение Стьюдента. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном .

6.      Распределение . Доверительный интервал для .

7.      Доверительный интервал для вероятности.

8.       Проверка гипотез о среднем значении нормально распределенной случайной величины с известной дисперсией.

9.      Проверка гипотез о среднем значении нормально распределенной случайной величины с неизвестной дисперсией.

10.  Проверка гипотез о равенстве средних значений двух нормально распределенных случайных величин.

11.  F-распределение. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух нормально распределенных величин.

12.  Проверка гипотез о законе распределения (критерий Пирсона).

13.  Статистическая оценка коэффициента корреляции и ее свойства.

14.  Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

15.  Доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

16.  Проверка значимости линейной регрессии.

17.  Принятие решений: минимизация потерь (максимизация прибыли).

18.  Дерево решений. Использование прогнозов при принятии решений.

 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”
(в часах)

 

Тема

Лекции

Лабораторные

занятия

Всего

1. Основные понятия математической статистики

2

0

2

2. Статистическая оценка

параметров распределения

6

8

14

3.Статестическая гипотеза-

4

4

8

4. Корреляционный и регрессионный анализ

4

4

8

5. Основы факторного

анализа

2

0

2

6.Принятие решений:

байесовский подход

2

2

4

ИТОГО

20

18

38